論理回路全7種をベン図で理解しよう【一覧】【ブール代数・完備性も解説】

論理演算とは、真(True,1)と偽(False,0)の2つの値を用いて行う演算のことで、コンピューターの2進数による演算は論理演算の膨大な積み重ねで実現されています。具体的には、「AND」や「OR」などの様々な論理回路によって実行されますが、このページではその一覧を示し、ブール代数についても触れていきます。

このページでは、

を解説しています。

論理回路とは

論理回路（論理関数）は、0や1を入力するとそれぞれの回路に応じて0や1を出力するものです。電子回路の中で非常に多く使われています。例えば、電子レンジは「スイッチを押す」かつ「扉が閉まっている」状態でないと動きませんが、これには「かつ」を示すAND回路が使われます。

以下で代表的な7種類を解説します。また、それぞれの論理回路について図に描く際の標準の描き方（MIL記法）が定められているので、併せて示します。

以下のベン図ではAやBの丸の中がAやBの値が１であることを示し、赤い部分で1を出力することを表すこととします。また、論理回路の入力と出力をまとめた表を真理値表といい、これも併せて示します。（ベン図と真理値表は本質的に同様の表現で、どちらかを理解すれば十分です。）

NOT

NOT(A)は、入力値と逆の値を出力します。

真理値表：

MIL記法：

AND

AND(A,B)は、両方1のときのみ1を出力します。「かつ」であり、論理積とも呼ばれます。

真理値表：

MIL記法：

OR

OR(A,B)は、少なくとも一方が1のとき1を出力します。「または」であり、論理和とも呼ばれます。

真理値表：

MIL記法：

NAND

NAND(A,B)は、ANDの否定でありNOT(AND(A,B))とも表記できます。

真理値表：

MIL記法：

NOR

NOR(A,B)は、ORの否定でありNOT(OR(A,B))とも表記できます。

真理値表：

MIL記法：

XOR

XOR(A,B)は、ORからANDを引いたものであり、排他的論理和(Exclusive OR)とも呼ばれます。

真理値表：

MIL記法：

EQ(XNOR, NXOR)

EQ(A,B)は、AとBの値が同じ時に1を出力します。EQはEquivalence（同値）の頭文字です。NOT(XOR(A,B))とも表記できます。

真理値表：

MIL記法：

【発展】完備性について

以上で示した7つの論理回路は、以下のように、「NAND」または「NOR」だけで表現できることが知られています。このことから、「NAND」と「NOR」は汎用論理回路（Universal Logic Gates）と呼ばれることもあります。

上記の{NAND}や{NOR}に加えて、{AND, NOT}（ANDとNOT）、{OR, NOT}（ORとNOT）でも全ての論理回路を表現できます。このような回路は、完備性（Functional Completeness）があると言われます。

ブール代数

真(True,1)と偽(False,0)の2つの値のみを用いて演算を行う数学を、ブール代数と呼びます。論理回路を数学的にとらえることは、様々な回路を設計するときに役に立ちます。

ブール代数における演算には、基本的に論理積、論理和、論理否定の3つがあります。

論理積

論理積はANDのことであり、「・」で表されます。上記のANDと全く同様に以下の式が成り立ちます。

論理和

論理和はORのことであり、「+」で表されます。上記のORと全く同様に以下の式が成り立ちます。

論理否定

論理否定はNOTのことであり、「\(\bar{x}\)」（バー）で表されます。上記のNOTと全く同様に以下の式が成り立ちます。

3行まとめ

このページでは論理回路やブール代数について解説しました。まとめると以下の通りです。

皆様の参考になれば幸いです。

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